同学可以建立自己的题库。一本是错题，一本是精题。对于平时作业，考试涌现的错题，有选择地记下来，并用红笔在一侧批注注意事项，考试前只需翻看红笔写的内容即可。下面是张承辉为大家整理的有关九年级人教版数学上册期末考知识点，希望对你们有帮助!
九年级人教版数学上册期末考知识点：试题及答案
试题
一、选择题(共8小题，每小题4分，满分32分)
1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
3.若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号.若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1<0<x2，则下列结论正确的是( )< p=””>
A. y1<0<y2 p=”” y2<y1<0<=”” d.=”” y1<y2<0=”” c.=”” y2<0
7.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F.若AC=2，则OF的长为( )
A. B. C. 1 D. 2
8.如图，在矩形ABCD中，AB<bc，ac，bd交于点o.点e为线段ac上的一个动点，连接de，be，过e作ef⊥bd于f，设ae=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )< p=””>
A. 线段EF B. 线段DE C. 线段CE D. 线段BE
二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16分)
9.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 cm2.(结果保留π)
10.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m.
11.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 .
12.对于正整数n，定义F(n)= ，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.
(1)求：F2(4)= ，F2015(4)= ;
(2)若F3m(4)=89，则正整数m的最小值是 .
三、解答题(共13小题，满分72分)
13.计算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE.
15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值.
16.抛物线y=2×2平移后经过点A(0，3)，B(2，3)，求平移后的抛物线的表达式.
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标.
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
19.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x2<0，且 >﹣1，求整数m的值.
20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数，且1≤x≤10);
质量档次 1 2 … x … 10
日产量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润(万元) 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的值.
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F.点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF.
(1)求证：直线PC是⊙O的切线;
(2)若AB= ，AD=2，求线段PC的长.
22.阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值.
请回答：
(1)如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB;
(2)如图2，线段AB与CD交于点O.为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.
请你帮小明计算：OC= ;tan∠AOD= ;
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= .
23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n).
(1)求代数式mn的值;
(2)若二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;
(3)若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a(x﹣1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围.
24.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α.
(1)如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系;
(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF.
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长;
②请直接写出线段AF的长(用含α的式子表示).
25.在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是图形W上的任意两点.
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积.
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2;当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4
(1)若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ;
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ;
(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为 ;
(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.
2014-2015学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题，每小题4分，满分32分)
1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根
考点： 根的判别式.
分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可.
解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，
△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=29>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选A.
点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)①当b2﹣4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac<0时，一元二次方程没有实数根.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
考点： 锐角三角函数的定义.
分析： 直接根据三角函数的定义求解即可.
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴sinA= = .
故选A.
点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：
正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA=∠A的对边：斜边=a：c.
3.若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
考点： 由三视图判断几何体.
分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.
解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥.
故选：D.
点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定.
4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号.若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
考点： 概率公式.
分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案.
解答： 解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，
∴抽到的座位号是偶数的概率是： = .
故选C.
点评： 此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
5.如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
考点： 位似变换.
专题： 计算题.
分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可.
解答： 解：∵C1为OC的中点，
∴OC1= OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴ = ，B1C1∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
即 =
∴A1B1=2.
故选B.
点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.注意：①两个图形必须是相似形;②对应点的连线都经过同一点;③对应边平行.
6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1<0<x2，则下列结论正确的是( )< p=””>
A. y1<0<y2 p=”” y2<y1<0<=”” d.=”” y1<y2<0=”” c.=”” y2<0
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征.
专题： 计算题.
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1<0<x2即可得到y1与y2的大小.< p=””>
解答： 解：∵A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，
∴y1=﹣ ，y2=﹣ ，
∵x1<0<x2，< p=””>
∴y2<0<y1.< p=””>
故选B.
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.
7.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F.若AC=2，则OF的长为( )
A. B. C. 1 D. 2
考点： 垂径定理;全等三角形的判定与性质.
分析： 根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案.
解答： 解：∵OD⊥AC，AC=2，
∴AD=CD=1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE(AAS)，
∴OF=AD=1，
故选C.
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.
8.如图，在矩形ABCD中，AB<bc，ac，bd交于点o.点e为线段ac上的一个动点，连接de，be，过e作ef⊥bd于f，设ae=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )< p=””>
A. 线段EF B. 线段DE C. 线段CE D. 线段BE
考点： 动点问题的函数图象.
分析： 作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论.
解答： 解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G.
由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE< 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误;
由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd> 时，DE有最小值，故B正确;
∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误;
由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE< 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误;
故选：B.
点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键.
二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16分)
9.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 3π cm2.(结果保留π)
考点： 扇形面积的计算.
专题： 压轴题.
分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出.
解答： 解：由S= 知
S= × π×32=3πcm2.
点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= .
10.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 24 m.
考点： 相似三角形的应用.
分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解.
解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得， = ，
解得x=24，
即这栋建筑物的高度为24m.
故答案为：24.
点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键.
11.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 .
考点： 二次函数的性质.
专题： 数形结合.
分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.
解答： 解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，
∴方程组 的解为 ， ，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1.
故答案为x1=﹣2，x2=1.
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ ， )，对称轴直线x=﹣ .也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题.
12.对于正整数n，定义F(n)= ，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.
(1)求：F2(4)= 37 ，F2015(4)= 26 ;
(2)若F3m(4)=89，则正整数m的最小值是 6 .
考点： 规律型：数字的变化类.
专题： 新定义.
分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可.
解答： 解：(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;
F1(4)=F(4)=16，F2(4)=37，F3(4)=58，
F4(4)=89，F5(4)=145，F6(4)=26，F7(4)=40，F8(4)=16，
通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)=26;
(2)由(1)知，这些数字7个一个循环，F4(4)=89=F18(4)，因此3m=18，所以m=6.
故答案为：(1)37，26;(2)6.
点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键.
三、解答题(共13小题，满分72分)
13.计算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.
考点： 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
专题： 计算题.
分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可.
解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= .
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE.
考点： 相似三角形的判定.
专题： 证明题.
分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论.
解答： 证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE.
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等腰三角形的性质.
15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值.
考点： 一元二次方程的解.
专题： 计算题.
分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值.
解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
则原式= = =3.
点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.抛物线y=2×2平移后经过点A(0，3)，B(2，3)，求平移后的抛物线的表达式.
考点： 二次函数图象与几何变换.
专题： 计算题.
分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2×2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式.
解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2×2+bx+c，
把点A(0，3)，B(2，3)分别代入得 ，解得 ，
所以平移后的抛物线的表达式为y=2×2﹣4x+3.
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标.
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析： (1)把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式;
(2)由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标.
解答： 解：
(1)把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，
∴点A坐标为(2，4)，
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y= ;
(2)∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为(﹣2，﹣4)，
∴B到OC的距离为4，
∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，
∴S△OPC=8，
设P点坐标为(x， )，则P到OC的距离为| |，
∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，
∴P点坐标为(1，8)或(﹣1，﹣8).
点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在(1)中求得A点坐标、在(2)中求得P点到OC的距离是解题的关键.
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
考点： 解直角三角形;勾股定理.
专题： 计算题.
分析： (1)在△ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解.
解答： 解：(1)在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA= = ，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC= =6，
∵D是AB中点，
∴BD=5，S△BDC=S△ADC，
∴S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，
∴BE= = ，
在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，
即cos∠ABE的值为 .
点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式.
19.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x2<0，且 >﹣1，求整数m的值.
考点： 根的判别式;根与系数的关系.
专题： 计算题.
分析： (1)由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可;
(2)利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可.
解答： 解：(1)由已知得：m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)2>0，
则m的范围为m≠0且m≠2;
(2)方程解得：x= ，即x=1或x= ，
∵x2<0，∴x2= <0，即m<0，
∵ >﹣1，
∴ >﹣1，即m>﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2<m<0，< p=””>
∵m为整数，
∴m=﹣1.
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0.
20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数，且1≤x≤10);
质量档次 1 2 … x … 10
日产量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润(万元) 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的值.
考点： 二次函数的应用.
分析： (1)根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式;
(2)由(1)的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论.
解答： 解：(1)由题意，得
y=(100﹣5x)(2x+4)，
y=﹣10×2+180x+400(1≤x≤10的整数);
答：y关于x的函数关系式为y=﹣10×2+180x+400;
(2)∵y=﹣10×2+180x+400，
∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.
∵1≤x≤10的整数，
∴x=9时，y=1210.
答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元.
点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F.点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF.
(1)求证：直线PC是⊙O的切线;
(2)若AB= ，AD=2，求线段PC的长.
考点： 切线的判定;勾股定理;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.
分析： (1)首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线;
(2)首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长.
解答： (1)证明：连接OC.
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC.
∵FA经过圆心O，
∴F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF.
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF.
∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°.
∴OC⊥PC.
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2.
∴BE=CE=1.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，
∴ .
设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r.
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC2=OE2+CE2.
∴r2=(3﹣r)2+1.
解得 ，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°.
∴△OCE∽△CPE，
∴ .
∴ .
∴ .
点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
22.阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值.
请回答：
(1)如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB;
(2)如图2，线段AB与CD交于点O.为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.
请你帮小明计算：OC= ;tan∠AOD= 5 ;
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= .
考点： 相似形综合题.
分析： (1)用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置;
(2)连接AC、DB、AD、DE.由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值;
(3)如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由△AOE∽△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD.
解答： 解：(1)如图所示：
线段CD即为所求.
(2)如图2所示连接AC、DB、AD.
∵AD=DE=2，
∴AE=2 .
∵CD⊥AE，
∴DF=AF= .
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO.
∴CO：DO=2：3.
∴CO= .
∴DO= .
∴OF= .
tan∠AOD= .
(3)如图3所示：
根据图形可知：BF=2，AE=5.
由勾股定理可知：AF= = ，AB= = .
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF.
∴AO：OB=AE：FB=5：2.
∴AO= .
在Rt△AOF中，OF= = .
∴tan∠AOD= .
点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键.
23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n).
(1)求代数式mn的值;
(2)若二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;
(3)若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a(x﹣1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围.
考点： 反比例函数综合题;代数式求值;反比例函数与一次函数的交点问题;二次函数的性质.
专题： 综合题;数形结合;分类讨论.
分析： (1)只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题;
(2)将点B的坐标代入y=(x﹣1)2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题;
(3)可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质(|a|越大，抛物线的开口越小)就可解决问题.
解答： 解：(1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(1，4)、B(m，n)，
∴k=mn=1×4=4，
即代数式mn的值为4;
(2)∵二次函数y=(x﹣1)2的图象经过点B，
∴n=(m﹣1)2=m2﹣2m+1，
∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n
=mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n
=4n+2×4﹣4n
=8，
即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8;
(3)设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，
解 ，得：
或 ，
∴点C(﹣2，﹣2)，点D(2，2).
①若a>0，如图1，
当抛物线y=a(x﹣1)2经过点D时，
有a(2﹣1)2=2，
解得：a=2.
∵|a|越大，抛物线y=a(x﹣1)2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0<a<2;< p=””>
②若a<0，如图2，
当抛物线y=a(x﹣1)2经过点C时，
有a(﹣2﹣1)2=﹣2，
解得：a=﹣ .
∵|a|越大，抛物线y=a(x﹣1)2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a<﹣ .
综上所述：满足条件的a的范围是0<a<2或a<﹣ p=”” .
点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第(2)小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第(3)小题的关键.
24.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α.
(1)如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系;
(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF.
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长;
②请直接写出线段AF的长(用含α的式子表示).
考点： 几何变换综合题.
分析： (1)根据等腰直角三角形的性质得出即可;
(2)①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD.求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可;
②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可.
解答： 解：(1)AD+DE=4，
理由是：如图1，
∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4;
(2)①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD.
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF= =4 ;
②如图2，过E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FME= ，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sin =8sin .
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.
25.在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是图形W上的任意两点.
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积.
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2;当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4
(1)若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= 1 ;
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= 1 ;
(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为 2 ;
(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.
考点： 圆的综合题.
分析： (1)由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可;
②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可;
(2)先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解.
(3)分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可.
解答： 解：(1)①如图3，
∵OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，
∴它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，
故答案为：1.
②如图4，
∵AB⊥x轴，OA=OB=1.
∴AB= ，OC= ，
∴它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，
故答案为：1.
(2)如图5，图形的测度面积S的值，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形.
∴它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，
故答案为：2.
(3)设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，
当A，B或B，C都在x轴上时，
如图6，图7，
矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12.
当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH⊥x轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，
当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF.
图形W的测度面积S=EF•GF，
∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB∽△BFC，
∴ = = = ，
设AE=4a，EB=4b，(a>0，b>0)，则BF=3a，FC=3b，
在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，
∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，
∵b>0，
∴b= ，
在△ABE和△CDG中，
∴△ABE≌△CDG(AAS)
∴CG=AE=4a，
∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，
∴图形W的测度面积S=EF•GF=(4b+3a)(3b+4a)=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，
当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，
∵a>0，b>0，
∴ >0，
∴S>12，
综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ .
点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值.
九年级人教版数学上册期末考知识点
“张承辉博客” 九年级人教版数学上册期末考知识点 https://www.zhangchenghui.com/159760