函数的要素包括定义域、值域、对应关系。其中，定义域是函数自变量x的范围。通常需要考虑七种情况，分别是分母不为零；偶次更好大于等于零；对数的真数大于零；零次幂底数不为零；实际采用的范围等。当函数的定义域及对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
函数的值域是函数y的范围，值域问题可难可简单，方法可以灵活多变，但仍然可以总结一些方法规律出来。复合函数就是一个函数占了另一个函数自变量的位置而组成的新函数。
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
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